Abbiamo visto nel tutorial precedente come si calcolano un livello di pressione sonora (SPL, Sound Pressure Level) e un livello di potenza (o intensità) sonora (SIL, Sound Intensity Level).
In questo secondo tutorial vogliamo fornire alcuni strumenti (sotto forma di formule), in modo da fornire la possibilità, da un lato, di eseguire un calcolo laddove necessario, e dall'altro, con l'uso anche di esempi e di un paio di grafici, di comprendere meglio la natura delle misure in decibel, e il significato pratico delle formule.
Ovviamente ci vorrà un po' di pazienza per seguire i calcoli, ma non dovreste spaventarvi troppo perchè è sufficiente padroneggiare un po' di algebra elementare e le proprietà dei logaritmi.
Qui forniamo una piccola "dimostrazione" per ogni formula analizzata: non è assolutamente necessario approfondire o comprendere queste dimostrazioni, ma ovviamente chi lo farà potrà avere uno strumento di conoscenza in più (NB: queste dimostrazioni sono state ricavate dall'autore del presente tutorial, e non sono facilmente reperibili nei testi di acustica!).
Formule in campo libero
Tutte le formule di cui ci occuperemo sono "formule in campo libero".
Cosa vuol dire questo? Semplicissimo: che noi ci porremo nella situazione ideale nella quale non esista alcun ostacolo alla libera propagazione delle onde sonore (le quali, ricordiamo, si propagano nell'aria esattamente come le onde in uno stagno, e, come queste ultime, vengono deformate da un ostacolo).
Una buona approssimazione di un campo libero può essere un vasto spazio all'aperto privo di vegetazione e costruzioni, a meno ovviamente del suolo, che costituisce un ostacolo, ma può essere ignorato per le nostre esigenze.
1. Calcolare il livello ad una certa distanza dalla sorgente
La prima formula a cui ci interessiamo è quella che ci consente di calcolare il livello di pressione sonora LP in un punto che si trovi a distanza r da una fonte sonora di livello LW.
La formula è la seguente:
Vediamo quindi che è sufficiente conoscere la distanza dalla sorgente e il livello SPL alla sorgente per stabilire - in campo libero, naturalmente - quale sia il livello SPL in un certo punto dello spazio.
Un esempio molto semplice: siamo in presenza di un amplificatore che diffonde un suono di 100dB SPL. Qual'è la pressione sonora che udiremo a 10 metri? E a 50 metri? E a 100 metri?
Applicando la formula, vediamo che a 10 metri il livello sarà di 100 - 20 log 10 - 11 = 100 - 20 * 1 - 11 = 100 - 20 - 11 = 69 dB (ricordiamo che il logaritmo di 10 in base 10 è 1).
A 50 metri il livello sarà di 100 - 20 log 50 - 11 = 100 - 20 * 1.7 - 11 = 100 - 34 - 11 = 55 dB (il calcolo è lievemente approssimato).
A 100 metri invece il livello sarà 100 - 20 * 2 - 11 = 100 - 40 - 11 = 49 dB.
Chi vuole può continuare a fare calcoli per osservare l'andamento della funzione livello al crescere della distanza.
Ovviamente l'aspetto della funzione non sarà lineare ma logaritmico!
••• dimostrazione ••• (chi vuole, può saltare questa parte)
Cerchiamo, nei limiti del possibile, di giustificare questa formula.
Utilizzeremo solo le definizioni di livello di pressione sonora e la nota proporzionalità tra intensità e pressioni.
Prima di tutto richiamiamo quest'ultima, in base alla quale sappiamo che:
Sarà quindi ovviamente:
ed anche (ricordando le proprietà dei logaritmi):
ovvero (notando che il primo membro è la definizione di LP, ed applicando un'altra proprietà dei logaritmi):
Ora ci aggorgiamo che la prima espressione dopo il segno di uguale è proprio la definizione di LW; inoltre invertiamo numeratore e denominatore all'ultima espressione, cambiando il segno al logaritmo (questo è possibile sempre grazie a proprietà dei logaritmi):
Ma s/s0 è proprio la superficie della sfera di raggio r, ovvero 4πr2, per cui:
e quindi, con un'altra applicazione delle proprietà dei logaritmi:
e infine, calcolando il log 4π:
che è esattamente quanto volevamo dimostrare.
••• fine della dimostrazione •••
2. Calcolare la differenza tra due livelli a diversa distanza dalla sorgente
Questa formula è una diretta conseguenza della precedente.
Immaginiamo di trovarci in una situazione simile a quella precedente: un amplificatore emette un suono in uno spazio aperto. Noi siamo a 100 metri dalla sorgente, un nostro amico a 200 metri.
Vogliamo stabilire qual'è la differenza tra il livello che udiamo noi e quello udito dal nostro amico.
Possiamo calcolare entrambi i livelli e fare la differenza, ovviamente; ma possiamo anche applicare la seguente formula:
Applichiamola all'esempio che abbiamo fatto: la differenza L1 - L2 tra i due livelli sarà uguale a 20 moltiplicato per il logaritmo del rapporto tra r2 ed r1, che nel nostro esempio sono uguali a 200 m e 100 m (nella formula si intende che andremo ad inserire la distanza maggiore al numeratore e quella minore al denominatore), ovvero 20 moltiplicato per il logaritmo di 2: quest'ultimo è uguale a circa 0,3, per cui la differenza L1 - L2 sarà uguale a circa 20 * 0,3 = 6 dB.
Qual'è il vantaggio nell'usare questa formula anzichè la prima?
I più attenti se ne saranno accorti: che non abbiamo bisogno di conoscere il livello SPL alla sorgente! Possiamo cioè calcolare quanti dB perdiamo - per così dire - allontanandoci dalla sorgente, o viceversa guadagniamo avvicinandoci, pur senza conoscere il livello esatto di emissione.
••• dimostrazione ••• (chi vuole, può saltare questa parte)
Dimostrare questa formula è estremamente semplice: basterà applicare due volte la formula che già conosciamo:
••• fine della dimostrazione •••
3. Calcolare la variazione di livello al variare della potenza di emissione
Una formula che può essere molto utile in casi concreti è la seguente:
Poichè ormai siamo abbastanza bravi, cerchiamo di capire di cosa si tratta leggendo semplicemente la formula.
Il livello LP1 è relativo ad una potenza di emissione W1, il livello LP2 ad una differente potenza di emissione W2.
Sia per esempio la prima W1 = 240 watt, la seconda W2 = 150 watt.
Immaginiamo poi di sapere, ad esempio, che il livello in pressione sonora in un certo punto PP2, relativo a 150 Watt di emissione, è di 50 dB.
Attenzione: questo valore è assolutamente arbitrario! Lo abbiamo scelto per dare un valore numerico al nostro esempio, ma vedremo che in effetti è assolutamente ininfluente nella formula.
Utilizzando la formula possiamo stabilire quale sarà il livello in quello stesso punto passando ad una potenza di 240 Watt.
Si avrà che LP1 è uguale a 50 dB più una certa quantità che è pari a 10 volte il logaritmo del rapporto tra 240 e 150.
Quest'ultimo è pari ad 1,6; quindi la nostra quantità da sommare sarà pari a 10 * log 1,6; poichè il logaritmo di 1,6 è pari a circa 0,2, la quantità da sommare sarà di circa 2 dB.
Il nostro livello complessivo sarà allora di 50 + 2 = 52 dB.
Fate caso che la formula ci dice che, incrementando l'emissione da 150 a 240 Watt, ci sarà un incremento di circa 2 dB in ogni punto dello spazio.
Nota bene: mai come in questo caso è importante capire che queste formule valgono solo in campo libero! E' chiaro che in un caso non ideale, in punti molto lontani dall'emissione è impossibile un simile incremento, a causa di vari fattori che disperdono o attenuano il suono. A 1000 Km, giusto per fare un esempio diretto e semplice, non solo non si ode alcuna variazione, ma neppure si ode il suono originario!
••• dimostrazione ••• (chi vuole, può saltare questa parte)
Anche questa formula è di semplice dimostrazione, in modo del tutto analogo alla precedente:
••• fine della dimostrazione •••
4. Sommare due livelli sonori espressi in potenza
Siamo arrivati ad una formula estremamente importante e che può essere utile anche nell'uso domestico, come semplici utenti di impianti stereo.
Capita spesso di sentir dire: "Ho due casse da 100 watt, per cui ho una potenza di 200 watt!"
Oppure: "Ho un sistema surround 5+1, il sub è da 100 watt, le casse da 80 Watt l'una, per cui ho un totale di 500 watt!".
Queste affermazioni sono in un certo senso esatte, ma non hanno senso per come vengono comunemente intese: ossia, NON E' VERO che sommando le potenze in Watt si esprima un proporzionale aumento in livello, che è invece ciò che l'utente non smaliziato pensa e che spesso la pubblicità delle apparecchiature vuol far credere.
Tralasciando i vari aspetti del problema - che è estremamente più complesso da analizzare di quello che potrebbe sembrare a prima vista, poichè sarebbero molte le cose da chiarire, non ultima - anzi per prima - la questione di quale sia in un impianto di diffusione il reale rapporto tra potenza elettrica impiegata e potenza sonora restituita - andiamo a dare un'occhiata alla nostra formula.
Questa formula magari può sembrare un po' complessa.
(Certo, è più complessa di 50 watt + 50 Watt = 100 Watt!)
In realtà, è facilissima da applicare, a patto di utilizzare una calcolatrice scientifica.
Prima di tutto, dobbiamo calcolare i livelli in potenza sonora.
Questo lo sappiamo fare in base al nostro precedente tutorial.
Andiamo allora a vedere due esempi: nel primo analizzeremo il caso di potenze sonore uguali (il classico caso dei due diffusori stereo), nel secondo il caso di due potenze diverse.
---- Primo esempio: potenze uguali ----
Abbiamo i nostri due diffusori, che esprimono entrambi 50 watt (dovrebbero essere espressi in modo continuo, il che non è vero, ovviamente, altrimenti non ci sarebbe mai silenzio o calo di volume: immaginiamo per semplicità, allora, di parlare di potenza RMS, sperando che il produttore abbia indicato un valore simile a quello reale).
Prima di tutto calcoliamo il valore SIL, che sarà uguale a 10 moltiplicato per il logaritmo del rapporto tra 50 Watt ed il nostro W0 di riferimento, che è, come sappiamo, 10-12 Watt.
Avremo quindi 10 per il logaritmo di 50 per 1012, ossia 10 per circa 13,7.
Il nostro livello in potenza sonora sarà quindi di circa 137 dB SIL (questo valore va inteso alla sorgente, ovviamente.)
Utilizzando la formula avremo che 137 dB + 137 dB saranno uguali a 10 volte il logaritmo del valore in parentesi.
Calcoliamolo: 10, elevato a 137 diviso 10, sarà 10 elevato a 13,7, ossia circa 50118723362727,2285.
Questo numero, sommato a se stesso, è pari a circa 100237446725454,4570.
Il logaritmo di quest'ultima quantità è circa 14, che moltiplicato per 10 è pari a circa 140 dB.
Cosa vuol dire questo? Vuol dire che, se una sola sorgente da 50 watt ci dà 137 dB SIL, la somma di due sorgenti da 50 watt ci dà 140 dB SIL, ossia un incremento di soli 3 dB!
Questo risultato può stupire, ma è esattamente ciò che ci dice la Fisica.
---- Secondo esempio: potenze diverse ----
Applichiamo la stessa formula ma con potenze differenti: ad esempio 50 Watt e 100 Watt.
Il valore SIL nel primo caso lo abbiamo già calcolato, ed è 137 dB SIL.
Il valore nel secondo caso è pari a 10 volte il logaritmo di 100 per 1012, ossia 10 volte il logaritmo di 100000000000000, ossia 10 volte 14, ossia 140 dB SIL.
(Osserviamo per un attimo questo risultato: 140 dB è esattamente quanto avevamo ricavato nel primo esempio come somma di due emissioni da 50 Watt.
E infatti ora abbiamo calcolato il SIL per una emissione da 100 Watt: questo ci dimostra che il sistema logaritmico è dotato, nonostante la difficoltà ad assimilarlo, di quella coerenza interna che ci garantisce che lo strumento è matematicamente corretto).
Andiamo a calcolare quanto ci darà la formula con 137 dB + 140 dB.
Sappiamo già che 10 elevato a 13,7 fa circa 50118723362727,2285.
Andiamo a calcolare 10 elevato a 14: abbiamo esattamente 100000000000000.
La somma di questi due numeri è circa 150118723362727,2285.
Il logaritmo di questo numero è circa 14,176, che moltiplicato per 10 ci fornisce un livello SIL di circa 141,76 dB.
Abbiamo ottenuto circa 1,76 dB di incremento sommando ad una fonte da 100 Watt un'altra fonte da 50 Watt: decisamente non è molto!
Nel grafico che segue, potete vedere come varia il guadagno in dB rispetto al livello maggiore, al variare della differenza in dB dei due livelli SIL da sommare.
Il massimo guadagno è quello di 3 dB nel caso di potenze uguali.
••• dimostrazione ••• (chi vuole, può saltare questa parte)
Vediamo brevemente la dimostrazione della formula: innanzitutto richiamiamo le definizioni:
Si ha allora:
••• fine della dimostrazione •••
5. Sommare due livelli sonori espressi in pressione
Questa formula è perfettamente analoga alla precedente, ma è riferita a livelli espressi in pressione.
Notate che compare il fattore 20 al posto del fattore 10, come d'altronde era ovvio aspettarsi.
Vediamo subito due esempi analoghi ai precedenti.
---- Primo esempio: pressioni uguali ----
Sia la pressione, ad esempio, pari a 2 Pascal. In questo caso avremo un livello SPL pari a 20 volte il logaritmo di 2 diviso 20*10-5, ossia 20 volte 4, ossia 80 dB SPL.
Utilizzando la formula, avremo che 80 dB + 80 dB saranno uguali a 20 volte il logaritmo del valore in parentesi.
Andando a calcolarlo: 10, elevato a 80 diviso 20, sarà 10 elevato a 4, ossia circa 10000.
10000 sommato a se stesso è 20000, il logaritmo di 20000 è circa 4,3, il quale, moltiplicato per 20, fa circa 86.
Analogamente al caso delle pressioni, abbiamo visto che, se una sola sorgente da 2 Pascal ci dà 80 dB SPL, la somma di due sorgenti da 2 Pascal ci dà 86 dB SIL, ossia un incremento di soli 6 dB.
La differenza fondamentale - da tenere a mente - è che in questo caso l'incremento possibile è raddoppiato: 6 dB SPL contro i 3 dB SIL.
---- Secondo esempio: pressioni diverse ----
Sia la prima pressione pari a 2 Pascal, la seconda, ad esempio, ad 1 Pascal.
Il livello SPL relativo alla prima è, come abbiamo visto, di 80 dB.
Calcolando quello relativo alla seconda abbiamo un livello SPL pari a 20 volte il logaritmo di 1 diviso 20*10-5, ossia 20 volte 3,7 (circa), ossia circa 74 dB SPL.
Andiamo a calcolare quanto ci darà la formula con 80 dB + 74 dB.
Sappiamo già che 10 elevato a 4 fa 10000.
Andiamo a calcolare 10 elevato a 74/20, ossia 10 elevato a 3,7: abbiamo circa 5011,87.
La somma di questi due numeri è circa 15011,87.
Il logaritmo di questo numero è circa 4,176, che moltiplicato per 20 ci fornisce un livello SPL di circa 83,52 dB.
Abbiamo quindi, come era lecito aspettarsi, un guadagno inferiore a 6 dB, ossia circa 3,52 dB.
Anche per la somma in pressioni abbiamo un grafico, nel quale potete vedere come varia il guadagno in dB rispetto al livello maggiore, al variare della differenza in dB dei due livelli SPL da sommare.
In questo caso il massimo guadagno è di 6 dB, sempre nel caso di pressioni uguali.
••• dimostrazione ••• (chi vuole, può saltare questa parte)
Anche per questa formula vediamo brevemente la dimostrazione: anche qui, innanzitutto richiamiamo le definizioni:
Si ha allora:
••• fine della dimostrazione •••
Nel prossimo tutorial ci interesseremo dei suoni dotati di direttività.
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